Combinaciones sin repetición.
Se llama combinaciones de \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\) donde \(n\geq r\), denotadas como \(C_n^r=nCr\), a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse tales que,
        •Pueden entrar o no todos los elementos.
        •No importa el orden.
        •No se repiten los elementos.

Combinaciones de \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\)

$$nCr=\left(\begin{matrix}n\\r\\\end{matrix}\right)=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Número combinatorio.
Dado un conjunto no vacío de \(n\) elementos, se dice que el número combinatorio es el número de combinaciones ordinarias de los subgrupos de \(r\) dados por la expresión anterior.

Ejemplo 1: comité de dos personas. Determinar cuántos comités de dos personas pueden hacerse con cinco personas.
Solución: no entran todos (dos de cinco personas), no importa el orden y no es posible repetir elementos (cada persona es única) se tiene una combinación sin repetición. $$5C2=\left(\begin{matrix}5\\2\\\end{matrix}\right)=\frac{5!}{2!\left(5-2\right)!}=\frac{5\times\ 4\times3\times2\times1}{2\times1\times3\times2\times1}=10$$ El resultado pude ser determinado de una manera más simple al observar que tanto el numerador como en el denominador se encuentra la expresión \(3\times2\times1=3!\) así que, $$5C2=\left(\begin{matrix}5\\2\\\end{matrix}\right)=\frac{5!}{2!\left(5-2\right)!}=\frac{5\times\ 4\times3!}{2\times1\times3!}=10$$ simplificando \(3!\)

Ejemplo 2: Sobre una circunferencia se marcan seis puntos equidistantes. Al unir los puntos tres a tres mediante segmentos de rectas ¿Cuántos triángulos quedan determinados?
Solución: no entran todos los elementos (tres puntos de seis), no importa el orden, el triángulo \(ABC=CBA\) y no se repiten los elementos, por lo tanto es una combinación sin repetición. $$6C3=\frac{6!}{3!\left(6-3\right)!}=\frac{6\times5\times4\times3!}{3!\left(3\right)!}=20$$ simplificando \(3!\)

Combinaciones con repetición. Llamaremos combinaciones con repetición de \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\), lo cual denotaremos como \({CR}_n^r\), a los distintos grupos formados por \(r\) elementos tales que,
        •Pueden o no entrar todos los elementos si \(n\le r\).
        •No importa el orden.
        •Se pueden repetir los elementos.

Combinación con repeticón de \(n\) elementos de \(r\) en \(r\)

$$C_n^r=\left(\begin{matrix}n+r-1\\r\\\end{matrix}\right)=\frac{(n+r-1)!}{r!\left(n-1\right)!}$$

Ejemplo 3. Elección de vinos. Una bodega contiene seis tipos de vinos. De cuanta maneras se pueden elegir cuatro botellas de vino de ella, si se pueden elegir tantas botellas como se desee de cada tipo?
Solución: no entran todos (cuatro de seis), no importa el orden, es posible repetir elementos. \begin{align} &C_m^n=\frac{(n+r-1)!}{r!\left(n-1\right)!}\Longrightarrow C_6^4=\frac{(6+4-1)!}{4!\left(6-1\right)!}=\frac{9!}{4!5!}\\ &C_6^4=\frac{9\times8\times7\times6\times5!}{4\times3\times2\times1\times5!}=\frac{9\times8\times7\times6}{4\times3\times2\times1}=126\end{align} Ejemplo 4 juagando a la lotería. En algunos juego de lotería los números suelen ir desde el 01, 02, 03… hasta 100. Se denomina palé a un arreglo de dos números cualquiera en el cual no importa el orden y se puede repetir un número. Determinar cuántos palés se pueden tener con los números del 01, 02, 03… hasta 100.
Solución: no entran todos (dos de cien), no importa el orden, se pueden repetir números, por lo que es una combinación con repetición. \begin{align} &C_n^r=\frac{(n+r-1)!}{r!\left(n-1\right)!}\Longrightarrow C_6^4=\frac{(100+2-1)!}{2!\left(100-1\right)!}=\frac{101!}{2!99!}\\ &C_6^4=\frac{101\times100\times99!}{2\times1\times99!}=\frac{101\times100}{2\times1}=5050\end{align} Debido a que solo resultan tres números ganadores de donde pueden resultar tres palés, la probabilidad de acertar un palé de tres en 5050, no es buen negocio jugar lotería.

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Variaciones ordinarias.
Llamaremos variaciones ordinarias o simplemente variación a los distintos arreglos de \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\) donde \(n\geq r\), lo cual denotaremos como \(nPr\), tales que,         •Pueden o no entrar todos.
        •Importa el orden.
        • No se repiten elementos.
Su cálculo se realiza mediante el producto factorial truncado: $$nPr=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\ldots\left(n-r+1\right)$$ lo cual se resume en la forma,

Variación de \(n\) elementos

$$nPr=\frac{n!}{\left(n-r\right)}!$$

Ejemplo 11. Arreglo de números. Determinar todos los números de dos dígitos que se pueden escribir con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, sin repetir un dígito.
Solución: no entran todos los elementos (dos de cinco), importa el orden y no se repiten elementos, por tanto es una variación ordinaria \(5P2\). \begin{align} &nPr=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}= \frac{5!}{(5-2)!}\\ &5P2=\frac{5\times4\times3!}{3!}\\ &5P2=5\times4=20\end{align} Note que el resultado es duplo del número combinatorio \(5C2\) del ejemplo uno.

Ejemplo 12. Arreglos de números. ¿Cuántos números cualquieras, de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 0, 2, 4 y 5?
Solución: no entran todos los elementos (tres de cuatro dígitos), importa el orden y los elementos no se repiten (expresa números de tres cifras diferentes), por tanto, es una variación ordinaria, de donde, \begin{align} &nPr=\ \frac{n!}{(n-r)!}= \frac{4!}{(4-3)!}\\ &4P3=\frac{4\times3\times2\times1}{1!}=24\end{align} Las posibles combinaciones son, \begin{array}{c|c|c|c|c} 024& 025& 042& 045& 052& 054& 204& 205& \\ \hline 402& 405& 502& 504& 240& 250& 420& 450& \\ \hline 520& 540& 245& 254& 425& 452& 524& 542& \end{array} Aunque la situación no pide escribir las variaciones, se ha hecho para ilustrar cuán difícil puede ser escribir las variaciones si el número \(n\) es grande.

Ejemplo 13. En una carrera de atletismo se tienen ocho atletas, los cuales disputan las tres medallas en juego. Determine cuántos posibles resultados se pueden tener.
Solución: no entran todos los elementos, importa el orden y no se repiten los elementos, por tanto, se tiene una variación ordinaria, de la forma \(8P3\). \begin{align} &8P3=\ \frac{8!}{(8-3)!}=\frac{8!}{5!}\\ &8P3=\frac{8\times7\times6\times5!}{5!}\\ &8P3=336\end{align} Ejemplo 14. Un ejercicio interesante. ¿Cuántos números naturales de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sin repetir un dígito?
Solución: note que el primer dígito solo puede ser ocupado por los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (ningún número natural comienza por cero) por tanto \(n=9\) y \(r=1\). El segundo bloque de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito, menos el inicial de donde \(n=9\) y \(r=2\), por lo que, \begin{align} &nPr=P_9^1P_9^2=\frac{9!}{\left(9-1\right)!}\times\frac{9!}{\left(9-2\right)!}=\frac{9!}{8!}\frac{9!}{7!}\\ &nPr=\frac{9\times8!}{8!}\frac{9\times8\times7!}{7!}=648\end{align} Variaciones con repetición.
Se llaman variaciones con repetición de \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\) las cuales denotaremos como \({VR}_n^r\) a los distintos grupos formados por \(r\) elementos tales que,
        • \(r\) no depende de tamño de \(n\). Si \(r>n\) obliga a repetir elementos.
        • Importa el orden.
        • Se repiten elementos.

Variaciones con repetición de \(n\) elementos

$${VR}_n^r=n^r$$

Ejemplo 15. a. Determinar cuántos números de dos dígitos pueden escribirse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5. b. ¿Cuántos de ellos comienzan con el tres?
Solución: no entran todos (dos de cinco), importa el orden (\(13\neq 31\)), se pueden repetir elementos (no expresa “sin repetir un dígito”) por tanto, es \({VR}_5^2=5^2=25.\)
Para la parte b si el tres es fijo los posibles arreglos son de la forma 3x, y dado que se pueden repetir los elementos hay cinco opciones para la segunda posición, por lo que cinco arreglos comienzan con tres. De hecho, los arreglos que se obtienen son, \begin{align} &11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 21,\ 22,\ 23,\ 24,\ 25,\ 31,\ 32,\ 33,\\ &34,\ 35,\ 41,\ 42,\ 43,\ 44,\ 45,\ 51,\ 52,\ 53,\ 54,\ 55.\end{align}

Ejemplo 16. Determine cuantos números telefónico de la forma 809-528-xxxx se pueden formar con los dígitos del cero al nueve. Explique que pasaría para el número 10 001 de esta forma.
Solución: no entran todos los elementos (cuatro de diez), importa el orden (1234\neq4321), se pueden repetir los elementos, por tanto \({VR}_{10}^4={10}^4=10\ 000.\) Si se tienen \(10\ 001\) número de esta forma, se está repitiendo un número telefónico, así que la compañía debe utilizar otro código distinto al 528 para este número.

Ejemplo 17. Clave telefónica. De cuanta maneras diferentes una persona puede elegir una clave numérica de seis dígitos para su teléfono.
Solución: como la clave debe ser numérica \(n=10\) (dígitos del cero al nueve), importa el orden y se pueden repetir elementos, así que se tiene una variación con repetición. $${VR}_{10}^6={10}^6=1\ 000\ 0000$$ Ejemplo 18. Determinar cuántas matrículas de automóviles de forma Axxxxxx se pueden formar con los dígitos del 0 al 9, donde x representa un dígito cualquiera.
Solución: no entran todos los elementos (seis de diez), importa el orden, y se pueden repetir los elementos, así que es variación con repetición para \(n=10\) y \(r=6\) (igual respuesta) que el ejemplo anterior. $${VR}_{10}^6={10}^6=1\ 000\ 0000$$

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Permutaciones.
Llamaremos permutación ordinaria de \(n\) elementos lo cual denotaremos como \(P_n\), a los diferentes arreglos hechos con ellos tales que,
        • Entran todos los elementos. Si \(n>r\) pueden entrar todos los elementos
        • Importa el orden
        • NO se repiten los elementos.

Permutaciones de \(n\) elementos

$$P_n=n!$$

Ejemplo 5. De cuántas maneras distintas se pueden ordenar siete libros en un estante.
Solución: entran todos los elementos, importa el orden (al cambiar de orden cualquier libro se tiene un arreglo distinto), no se repiten elementos (cada libro es único) por tanto, es una permutación de siete elementos. $$P_7=7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040$$ Permutaciones circulares.
Son permutaciones en las cuales los elementos se ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa o jugadores de póker), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra, de donde,

Permutaciones circulares de \(n\) elementos

$${PC}_n=P_{n-1}=\left(n-1\right)!$$

Ejemplo 6. Calcular las permutaciones circulares de cuatro personas al jugar dominó.
Solución: como al jugar dominó una persona determina el principio y fin del orden, $${PC}_4=\left(4-1\right)!=3!=3\times2\times1=6$$ Ejemplo 7. ¿De cuántas formas distintas pueden llegar los ocho corredores de una carrea de atletismo? Si el ganador de la carrera es fijo como cambia el resultado.
Solución: en el primer momento entran todos los elementos (ocho de ocho), importa el orden y no se repiten elementos, entonces \(P_8=8!=40 \ 320\) formas distintas. En el segundo momento como el ganador es fijo solo se consideran los siete corredores restantes, es una permutación circular donde {PC}_8=(8-1)!=7!=5040 formas.

Permutaciones con reperición
Permutaciones con repetición de \(n\) elementos tales que \(n=a+b+c+\ldots\), donde el primer elemento se repite \(a\) veces, el segundo \(b\)veces, el tercero \(c\) veces, ... a los distintos grupos que pueden formarse con \(n\) elementos tales que,
        • Entran todos los elementos. Si \(n>r\) pueden entrar todos los elementos
        • Importa el orden
        • Se repiten los elementos.

Permutaciones con repetición de \(n\) elementos

$${PR}_n^{a,b,c\ldots}=\frac{n!}{a!b!c!\ldots}$$

Ejemplo 8. Determinar la permutación con repetición dada por \({PR}_9^{4,3,2}\) \begin{align} &{PR}_n^{a,b,c}=\frac{P_9}{4!3!2!}\\ &{PR}_n^{a,b,c}=\frac{9\times8\times7\times6\times5\times4!}{4!3!2!}\\ &{PR}_n^{a,b,c}=\frac{9\times8\times7\times6\times5}{(3\times2\times1)(2\times1)}\\ &{PR}_n^{a,b,c}=1260\end{align} Ejemplo 9. Cuántos números de diez dígitos se pueden escribir con las cifras con las cifras 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5
Solución: entran todos los elementos, importa el orden y se repiten elementos, entonces es una permutación con repetición \({PR}_n^{a,b,c}\) donde \(a=4, \ b=3,\ c=3\) \begin{align} &{PR}_{10}^{4,3,3}=\frac{10!}{4!3!3!}\\ &{PR}_{10}^{4,3,3}=\frac{10\times9\times8\times7\times6\times5\times4!}{4!(3\times2\times1)(3\times2\times1)}\\ &{PR}_{10}^{4,3,3}=4200\end{align} Ejemplo 10. Una cesta contiene tres bolas rojas, cinco bolas verdes y tres bolas azules. ¿Cuántas arreglos diferentes se pueden hacer con las onces bolas?
Solución: entran todos, el rojo se repite tres veces, el verde cinco y el azul siete veces (\(n=11\)), por lo cual, es una permutación con repetición, \begin{align} &{PR}_{11}^{3,5,3}=\frac{11!}{3!5!3!}\\ &{PR}_{11}^{3,5,3}=\frac{11\times10\times9\times8\times7\times6\times5!}{3\times2\times1\times5!\times3\times2\times1}\\ &{PR}_{11}^{3,5,3}=9240\end{align}

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